karga Kurucu sordu 2 ay önce
“Eşitlik, benzerlik, yakınlık, uzaklık gibi her sağlıklı insanın günlük yaşamında kullandığı kavramlar aynı zamanda matematiğin önemli kavramlarıdır da. Günümüzün matematiği bunlara benzer “doğal” kavramlar üzerine kurulmuştur. Bu nedenden, matematik bilimi her zaman varolmuştur diyebiliriz.
karga Kurucu cevapladı 2 ay önce
İlkel insan, mağarasının duvarına resim çizerken soyut bir eşitlik kavramına sahipti. Çizdiği hayvan resmiyle gerçek hayvan arasında bir ilişki kurar, iki ve üç boyutlu iki değişik nesneyi eşleştirirdi. Üstelik çizdiği geyik herhangi bir geyiğin resmiydi. “Herhangi bir geyik”, “genel bir geyik” gibi düşünceler soyutlamaya giden ilk adımlardır. İlkel insan soyutlamaya, dolayısıyla matematikçileşmeye böyle başladı. Bu evreden “x bir geyik olsun” evresine geçmek için küçücük bir adım gerek. Bu küçücük adım insanlığın binlerce yılını almıştır.
İlkel insanın mağara duvarlarına çizdiği geyiğin, gerçek geyik gibi, dört ayağı, iki gözü, bir burnu vardı. Gerçekten, bilinçli olarak sayı sayıp sayamadıklarını bilmiyoruz ama, sözsüz ve yazısız da olsa bir tür sayı kavramına sahip oldukları apaçık…
İlkel insan küçük sayıları yanyana koyarak büyük sayıları elde edebileceğini bir süre sonra buldu. Örneğin bugün sayıları yazmak için 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 rakamlarını kullanırız. On rakam kullandığımızdan sayı sistemimize “onluk sistem” deriz. Onluk sistemin neden öbür sistemlerden daha kullanışlı ve yaygın olduğunu anlamak oldukça kolay: İki elimizin on parmağı var.
Bütün sayıları ilk ilk, ilk beş, ilk on iki, ilk yirmi sayıyı kullanarak ifade eden toplumlar da vardı..Çağımızdan ve Batı uygarlığından da örnekler verebiliriz. Fransızlar 70’e “soixante-dix”, yani “altmış-on” derler. Demek ki Fransızların ataları bir zamanlar altmışlık sistemi kullanmışlar, yetmişi dillerine daha sonra eklemişler. Fransızlar 80 için “quatre-vingts”, yani “dört-yirmi” derler. Bundan da Fransızların atalarının, altmışlık sistemin yanısıra yirmilik sistemi de kullandıkları anlaşılıyor.
Türkçemiz de bu konuda ilginç bir gelişme göstermişe benzer. On bir (10+1), on iki (10+2), on üç (10+3) gibi sayılara bakacak olursak, atalarımızın onluk sistemi kullandıkları anlaşılır. Öte yandan, on, yirmi, otuz, kırk, elli sayılarının bir, iki, üç, dört, beş sayılarıyla herhangi bir ses benzerliği yoktur. Ama altmış, yetmiş, seksen ve doksan sayılarının altı, yedi, sekiz ve dokuzla ses benzerliği vardır.
Altmış altıdan, yetmiş yediden, seksen sekizden ve doksan dokuzdan türemiş belli ki. Demek ki bizim de bir zamanlar altmışlık sistemimiz varmış. Bugün hem onluk, hem altmışlık sistemi içeren bir sayı sistemini kullanıyoruz…Babilliler de buna benzer bir sistem kullanıyorlardı. Bundan da sayı sistemimizin Mezopotamya’dan geldiği kanısına kapılıyorum. Konunun uzmanlarının ne düşündüklerini bilmiyorum..
Türkçe’nin sayı sistemine ilişkin ikinci bir gözlem, altmış ve yetmiş sayılarının yapısıyla seksen ve doksan sayılarının yapısı arasındaki ayrımla ilgili: Altmış ve yetmiş, altı ve yediden aynı yapı değişikliğine uğrayarak türemiş. Oysa seksen ve doksanın yapıları değişik. Bundan da şu çıkabilir: 80 ve 90 sayılarını 60 ve 70 sayılarından çok daha sonra keşfetmişiz. (Doç.Dr Yusuf Birsey’den edindiğim bilgiye göre altmış ve yetmişteki mış ve miş son ekleri moğolca “on” sayısından türemiş, seksen ve doksandaki en ve an son ekleri ise türkçe “on” sayısından türemiştir)
Yazının başında matematiğin “doğal” bir bilim olduğunu çıtlatmıştım.
Evet, matematik doğaldır. Ne denli soyut olursa olsun, matematik insanların buluşu değildir.
Matematik insanlardan bağımsızdır. Matematik yapmak demek doğanın kanunlarını, zekâsını anlamaya çalışmak demektir. Fizik, kimya gibi değil, kendine özgü, bambaşka yöntemlerle yapar bu işi matematik. Matematik doğanın özünde vardır ve matematikçiler insanlardan bağımsız olan bu matematiği bulmaya, keşfetmeye çalışırlar. Matematik icad edilmez, keşfedilir. pi sayısı, çeşitli sonsuzluk kavramları, kümeler kuramı, topoloji, sayılar kuramı, hatta mantık, sözün kısası matematikte her şey, ama her şey doğanın özünde bulunur. Matematikteki konular, kavramlar bizim anlağımızın bir ürünü değildirler, bizim dışımızda da, bizden bağımsız olarak vardırlar.
Bu yüzden evrenimizde yaşayan ve bir tür matematik geliştirecek kerte akıllı olan her yaratık bizim bildiğimiz matematiği önünde sonunda bulur. Çünkü bir tek Matematik vardır: Doğa’nın matematiği.
Bu yazdıklarım evrensel olarak kabul edilmiş düşünceler değildir, kanıtlanmaları da pek olası değildir gibi geliyor bana. Matematikle içli dışlı olan çoğu kişi benim gibi düşünür. Ünlü matematikçi Hardy’nin bu konuda yazdıklarını aktarayım;
“Fiziksel gerçekle maddi dünyayı; gecesi gündüzü olan, depremleri olan, ay ve güneş tutulmaları olan dünyayı; fiziksel bilimlerin anlatmaya çalıştığı dünyayı kastediyorum. […] Benim için ve sanırım çoğu matematikçi için “matematiksel gerçek” diye tanımlayacağım başka bir gerçek vardır. Bu matematiksel gerçeğin niteliği hakkında gerek matematikçiler gerek felsefeciler arasında herhangi bir uzlaşma yoktur. Bazılarına göre ‘zihinsel’dir ve onu bir bakıma biz yaratırız; diğerleri ise onun bizim dışımızda ve bizden bağımsız olduğu kanısındadır. Matematiksel gerçeğin ne olduğunu, inandırıcı bir şekilde açıklayabilecek bir kimse metafiziğin en zor problemlerinin çoğunu çözmüş olurdu. […] Benim inancıma göre, matematiksel gerçeklik bizim dışımızdadır; bizim işlevimiz onu bulup çıkarmak ya da gözlemektir; ıspatladığımızı veya tumturaklı sözlerle yarattığımızı söylediğimiz teoremler; gözlemlerimizden çıkardığımız sonuçlardan ibarettir. Bu görüş Eflatun’dan (Platon’dan) bu yana bir çok ünlü filozof tarafından da benimsenmiştir.”
Hardy, aynı kitabın 24. bölümünde matematiksel gerçeklikle fiziksel gerçekliği karşılaştırıyor:
“[…] matematiksel objeler [nesneler], çok daha göründükleri gibidirler. Bir iskemle veya bir yıldız hiç de göründüğü gibi değildir; üzerlerinde ne kadar çok düşünürsek, görüntüleri de, duyularımızdan kaynaklanan bir sis içinde, o ölçüde netliğini kaybeder, bulanıklaşır. Buna karşılık, “2” veya “317”nin duyularla ilişkisi yoktur; yakından incelediğimiz ölçüde özellikleri daha da berraklaşır. […] Öte yandan pür matematik, tüm idealizmin çarpıp battığı bir kayadır. 317 bir asaldır; biz öyle düşünüyoruz diye, veya kafa yapımız şu ya da bu şekilde olduğu için değil; çünkü öyledir, çünkü matematiksel gerçeğin yapısı budur.”
karga Kurucu cevapladı 2 ay önce
Kargalar dörde kadar sayabiliyor, benzer şekilde insanlar da altıya kadar sayabiliyor. Tam sebebini hatırlamıyorum ama, altıdan yüksek sayıları sayabilme sebebimiz yerine koyma metodunu kullanmamız. Sanırım altıdan büyük olan sayıları “anlayamıyoruz”.
Babiller 60 tabanında sayı sistemi ile (emin olmamamla birlikte) 20 tabanını karışık bir biçimde kullanıyorlardı. Bundan dolayı 1 saat 60 dakika, 1 dakika 60 saniyeye bölünür. Bir açının en fazla 360 olması da benzer şekilde onlardan geliyor bildiğim kadarıyla.
Bana göre matematik, gerçek dünyadaki objeleri temsil eden sembollerle, sistemleşmiş düşüncelerimizi birleştiren bir dildir. Ne zihinsel, ne de fiziksel evrenin bir parçasıdır, kendine ait bir evreni vardır.
Matematiği çok sevsem de, evrenin sırrı olduğunu düşünmüyorum. Sadece bir şeyleri daha iyi yapmamız için kullandığımız bir alet, ve her alet gibi matematik de mükemmel değil. Dünyayı %100 tutarlı bir şekilde kağıda aktarmak imkansızdır. Bu nedenle haritayı kağıda aktarırken, hedeflediğimiz bölge en tutarlı olacak şekilde aktarmaya çalışırız. Mesela ekvator bölgesinde minimum hataya sahip olmasına çalışıp, kutuplardaki çok yüksek tutarsızlığı önemsemeyiz. Matematiğin de buna birebir benzer olduğunu düşünüyorum. Newton fiziği yasalarıyla kuantum fiziği problemlerini çözemeyiz, çünkü Newton yasaları günlük hayatımızdaki fizik baz alınarak yapılmıştır. Gerçeklik ele avuca sığmaz, akıcıdır. Ama matematiğin çok keskin çizgileri vardır, bundan dolayı gerçek dünyayı tek bir matematik modeli içine sığdıramayız.
Bunu geçtim, matematik kendi içinde bile mükemmel değildir. Altıncı dereceden bir denklemin 6 kökü olduğu halde, bunlar için genel bir formülün olmadığı kanıtlanmıştır. Newton metodunu kullanarak bir köke oldukça yakın bir değer bulabiliriz. ama diğer 5 kök için Newton metodu bile büyük sorunlar doğurur, çünkü köklerden birinde olan küçük bir değişiklik diğer köklerde çok büyük farklar yaratabilir. Bazen problemlerin çözümleri olsa da, çözümü bulmak imkansız derece zor olabilir. Bundan dolayı yine yaklaşık değerleri bulmaya çalışırız.
Matematikte ispatlayamadığımız en küçük teoremlere “aksiyom” denir. Mesela öklit geometrisinin aksiyomları (postulatları) paralel olmayan iki doğrunun elbet bir noktada kesiştiği, bir noktanın bir doğruya en kısa uzaklığının dik olması gibi şeylerdir. Aksiyomlar bir matematik modelini oluşturur, ve istediğimiz şekilde aksiyom ekleyip çıkartabiliriz. Mesela “paralel olmayan iki doğru tek noktada kesişir” yerine “paralel olmayan iki doğru iki noktada kesişir” aksiyomunu ortaya atarsanız, düzlemin 3 boyutlu bir kürenin yüzeyi olduğu geometriyi bulursunuz. Fakat bu geometri gerçek dünyamıza çok uygun değildir, bundan dolayı öklit geometrisini kullanmaya devam ederiz. Burdan şunu anlamamız gerekiyor: aksiyomların birleşerek oluşturduğu sonsuz miktarda matematik modeli var, bizim hedefimiz ise gerçekliğe en tutarlı olanı seçmek. Kullandığımız modelde gerçekle örtüşmeyen bir şey olabilir. Bu durumda “modelimiz hatalı” deriz. Aslında her model kendi içinde hatasızdır, ama gerçekle örtüşmeyenlere, mantığımıza ters düşenlere hatalı deriz. Şaşırabilirsiniz ama, daha önce matematikte “hata” bulunduğu oldu, biz de aksiyomlardan birini değiştirip hatayı kaldırdık. Bu olay kümeler kuramında “Bertrand Russel paradoksu” yüzünden yaşandı. Bertrand Russel paradoksu, insanların matematiğe bakışında çığır açan bir olaydır. Herkes “doğru matematiği nasıl bulabiliriz” sorusuna kafa yorarken Gödel geldi ve bunun imkansız olduğunu kanıtladı.