Mükemmellik arayışı, matematik heveslilerini farklı yönlere sevk etmiştir. Mükemmel kareler olarak da bilinen tam karelere bu ismin verilmesi estetik nedenlerden ziyade mükemmel olmayan karelerin de olmadığını anımsatmak içindir. Bazı sayıların az, bazılarının çok sayıda böleni vardır. Fakat üç ayıcık masalında olduğu gibi, bazılarının bölen sayısı ise “tam olması gerektiği gibi”dir. Bir tam sayının bölenlerinin toplamı, sayının kendisine eşit olduğunda sayıya mükemmel deriz.
Bir sayının eksik, artık veya mükemmel olduğunu anlamak için kendisi dışındaki bölenlerini toplayıp sayıyla karşılaştırırız. 30 sayısına bakalım örneğin. 30’un kendi dışındaki tam bölenleri: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15. Topladığımızda 42 elde ederiz. Bölenlerinin toplamı sayının kendisinden büyük olduğundan 30 artık bir sayıdır. Bunun tersi olursa sayı eksik olur.
Ne eksik ne de artık olan sayı mükemmel demektir.
| Sıra | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| Sayı | 6 | 28 | 496 | 8128 | 33.550.336 | 8.589.869.056 | 137.438.691.328 |