İki sayı birbirinin kendisi hariç bölenleri toplamına eşitse bu sayılara arkadaş sayılar denir. (1 dahil)
En küçük arkadaş sayılar 220 ve 284 tür. Neden? Çünkü 220’nin bölenleri olan 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 ve 110 u topladığımızda 284 elde ederiz. 284’ün bölenlerini topladığımızda ise -evet, doğru tahmin ettiniz- 220 elde ederiz. İşte gerçek arkadaşlık.
Python programlama ile 10.000 e kadar olan arkadaş sayıları bulalım. (Bu sayıyı değiştirebilirsiniz.)
def bolenler(n):
return sum([i for i in range(1,n//2+1) if n%i==0])
arkadas = dict()
for sayi in range(1,10000):
bt = bolenler(sayi)
if sayi==bolenler(bt) and sayi<bt:
arkadas[sayi]=bt
print(arkadas)
Eğer bir sayının kendisi hariç tam bölenleri toplamı sayıdan büyükse o sayıya zengin sayı diyoruz. Örneğin 12 nin bölenleri 1,2,3,4,6 nın toplamı 16>12 olduğu için zengin sayıdır. En küçük tek zengin sayı nedir?
Basit bir programla bunu bulabiliriz,
def bolenler(n):
return sum([i for i in range(1,n//2+1) if n%i==0])
sayi = 1
while sayi>bolenler(sayi):
sayi+=2
print(sayi)
Bir masa üzerine 1.000.000 (bir milyon) kibrit çöpü bırakılmıştır. İki kişi bu kibrit çöpleri ile aşağıdaki kurala göre oyun oynuyorlar. Sırası gelen oyuncu bir asal sayı p ve negatif olmayan bir n sayısı seçip masa üzerinden p^n tane kibrit çöpünü alabiliyor. (örneğin 8, 1, 25, 5 ,49, 125 vs) En son kibrit çöpünü alan oyuncu oyunu kazanıyor?
Oyunu hangisi kazanır ve nasıl bir taktik uygulaması gerekir?
Yine yarışmadasınız ve üç kapı var. İki kapının ardında birer keçi bir kapının arkasında ise ferrari var. Bir kapı seçiyorsunuz. Sunucu diğer iki kapıdan arkasında keçi olanı açacak fakat çok yorgun ve bitkin düşmüş bir halde yarışmayı sunmaya gelmiş. Bu yüzden siz hangi kapıyı seçerseniz, o 1. kapıdan itibaren ilk arkasındaki keçi olan kapıyı açıyor.
Yani siz A yı seçerseniz B nin arkasında keçi varsa onu açıyor, B yi seçerseniz A da keçi varsa hemen onu açıyor yürümeye zorlamıyor kendini.
Kapınızı seçtikten sonra, sunucunun açtığı kapıdan sonra size değiştirme hakkı veriyor geri kalan iki kapı arasında.
Monty Hall problemini bilirsiniz. 3 kapının ardında bir ferrari diğer ikisinde ise birer keçi vardır. İlk seçeneğinizden sonra kapıların ardında ne olduğunu bilen sunucu size diğer iki kapıdan keçili olanı açar ve tekrar değiştirmek veya ilk seçtiğinizde kalmak üzere bir şans tanır. İlkinde kalmak 1/3 iken değiştirmeniz üzere şansınız 2/3 e çıkar.
Yine yarışmadasınız. A kapısını seçiyorsunuz. Sunucu iki kapıdan birini açmak üzere giderken ayağı kayıyor ve rastgele iki kapıdan birisini yanlışlıkla açıyor. Açtığı kapının ardından bir keçi çıkıyor neyse ki. Keçinin başını okşuyor ve size soruyor. Kapınızı değiştirmek ister misiniz?
Bu dizi ününe katkıda bulunan pek çok ilginç özelliği barındırır. İçlerinde en temeli -zaten aynı zamanda tanımı olan bu özellik- her terimin, kendinden önceki iki terimin toplamına eşit olmasıdır. İlk iki terimin 1, 1 olduğunu bilirsek diğer tüm terimleri hesaplayarak bulabiliriz. Fibonacci dizisi doğada, örneğin ayçiçeklerinin spriallerindeki çekirdek sayılarında veya mimarların çizdiği oda ve bina oranlarında karşımıza çıkar.
Fibonacci dizisi ilk olarak, Pisa’lı Leonardo, ya da daha yaygın bilinen adıyla Fibonacci’nin 1202 de basılan Liber Abaci adlı kitabında yer almıştır. Fakat öyle anlaşılıyor ki , Hintliler bu sayılardan daha önceden de haberdardı. Dizi, Fibonaccinin Hint-Arap sayılarını tanıtmak için yazdığı kitabına araştırma olsun diye sorduğu sorulardan birinde geçer:
Yetişkin bir tavşan çifti her ay bir çift yavru yapar. Yeni doğan bir yavru ise bir aylık olduğunda yetişkin olur. Başta kümeste bir çift tavşan varsa ve mucizevi bir şekilde hiç ölen olmuyorsa yıl sonunda kaç çift tavşan olur?
Fibonacci dizisindeki terimlerin oranlarına baktığımızda dizinin bir başka dikkate değer özelliğini fark ederiz. Bu oranlar “altın oran” olarak bilinen ve şöhreti pi ve e ile boy ölçüşebilecek bir konuma sahip olan ondalıklı değeri yaklaşık olarak 1,60803988… olan bir sayıdır.
Fibonacci dizisiyle ilgili gizemli bir soru ile konumuzu kapatalım.
Fibonacci dizisindeki ilk asal sayılar 2, 3, 5, 13, 89, ve 1597 dir. Dizi elemanlarındaki asallar sonsuza kadar sürer mi?
Bir gün bir istatistikçi anket için bir kapıyı çalar ve evde kaç çocuk bulunduğunu ve yaşlarını sorar. Bir matematikçi olan ev sahibi şu bilgileri verir: evde 3 kızı ile birlikte yaşamaktadır. Kızların yaşları toplamı kapı numarasına eşittir. İstatistikçi biraz daha bilgi vermeniz gerekli deyince ev sahibi de büyük kızım köpekleri seviyor der. İstatistikçi teşekkür ederim der ve evden ayrılır. Kızların yaşları nedir?
