Kalkülüs (Hesap)

Ortaçağdan bu yana matematikteki en büyük atılım olan diferansiyel ve integral hesabın keşfedilmesiyle Klasik Yunan matematiğinin aksiyomları denilen şeylerin birçoğunun temeli zaten zayıflamıştı. Doğru ve eğrinin mutlak zıtlar olduğu ve ikisinin de ortak ölçülerinin olmadığı, yani birinin diğeri cinsinden ifade edilemeyeceği fikri bir geometri aksiyomudur. Oysa son tahlilde diferansiyel hesapta doğru ve eğri eşit kabul edilir. Engels’in işaret ettiği gibi, bunun temeli konunun Leibniz ve Newton tarafından ele alınmasından çok uzun süre önce ortaya konulmuştu: “Matematikteki dönüm noktası Descartes’in değişken büyüklüğü olmuştu. Bununla matematiğe hareket, diyalektik ve ardından da Newton ve Leibniz tarafından keşfedilmemiş olsa da tam olarak onlar tarafından tamamlanmış olan diferansiyel ve integral hesabın zorunluluğu ihtiyacı girdi.”[6]

Kalkülüsün keşfi, matematikte ve genel olarak bilimde bütünüyle yeni ufuklar açtı. Eski tabular ve yasaklar bir kez aşıldıktan sonra, matematikçiler yepyeni alanları araştırmak için özgürleştiler. Fakat sonsuz büyük ve sonsuz küçük çokluklardan, eleştirel olmayan bir yolla, mantıksal ve kavramsal sonuçlarını düşünmeksizin yararlandılar. Sonsuz küçük ve sonsuz büyük çoklukların kullanımı, belli nedenlerden dolayı hiç de açık olmayan ama yine de her zaman doğru sonucu veren bir çeşit “kullanışlı hayal ürünü” olarak görüldü. Mantık Bilimi adlı eserinin birinci cildinin Nicelik konulu bölümünde Hegel, matematiksel sonsuzla tanışılmasının bir yandan matematiğin önünde yeni ufuklar açarken ve önemli sonuçlara yol açarken, diğer yandan yine de açıklamasız kaldığına, çünkü mevcut geleneklerle ve yöntemlerle çatıştığına dikkat çeker: Fakat matematiksel sonsuz yönteminde, matematik, kendisinin bir özelliği olan ve bir bilim olarak üzerine yaslandığı bu yöntemde esaslı bir çelişkinin farkına varır. Çünkü sonsuzun hesaplanması, sonlu büyüklüklerle işlem yaparken matematiğin toptan reddetmesi gereken işlem tarzlarını kabul eder ve gerektirirken, aynı zamanda, sonlu büyüklükler için geçerli olan yöntemleri sonsuz büyüklüklere de uygulamanın yolunu arayarak bu sonsuz büyüklükleri de sonlu nicelikler olarak ele alır.[7]

Sonuç, kalkülüsün geçerliliğine dair uzun bir tartışma dönemi oldu. Berkeley mantık yasalarıyla açıkça çeliştiği için onun geçersiz olduğunu ilân etti. Principia adlı eserinde bu yeni yöntemi kullanan Newton, ters bir tepki alma korkusuyla, kendisini bu gerçeği halktan gizlemek zorunda hissetti. 18. yüzyılın başlarında, Bernard Fontenelle, sonsuz tane doğal sayı olduğuna göre sonlu sayıların mevcudiyeti ne kadar doğruysa sonsuz bir sayının mevcudiyetinin de o kadar doğru olacağını ve sonsuzluğun karşıtının bir sonsuz küçük olduğunu açıkça ifade edecek cesareti sonunda kendisinde buldu. Bununla birlikte, Fontenelle sonsuzluğu bir yanılsama olarak reddeden Georges de Buffon tarafından yalanlandı. D’Alembert’in üstün zekâsının bile bu fikri kabul etmeye gücü yetmedi. Encyclopaedia’da diferansiyel hakkındaki makalesinde, sonlu çoklukların bir limiti şeklindeki olumsuz anlamı dışında, sonsuzluğun varlığını reddetti. “Limit” kavramı, aslında sonsuzluğa içsel olan çelişkinin üstesinden gelme çabası olarak devreye sokuldu. Bu çaba, matematikçilerin düşünüp taşınmaksızın kalkülüsü basitçe kabul etmeye –tıpkı eski kuşakların alışık oldukları gibi– artık yanaşmadıkları 19. yüzyılda özellikle çok yaygındı. Diferansiyel hesap, çeşitli derecelerden –birinci dereceden, ikinci dereceden vs.– sonsuz ölçüde küçük büyüklüklerin varlığını ön koşul olarak kabul etti. İşin içine “limit” kavramını katarak, en azından gerçek bir sonsuzluğun gerekmediği izlenimini oluşturdular. Niyet sonsuzluk fikrinin öznel olduğunu göstermek, nesnelliğini inkâr etmekti. Bu değişkenler madem verili herhangi bir nicelikten daha küçük olabiliyorlar o halde potansiyel olarak sonsuz ölçüde küçük olabilirler dendi, tıpkı potansiyel olarak sonsuzun önceden tespit edilmiş herhangi bir büyüklükten daha büyük olabileceği gibi. Başka bir deyişle, “istediğiniz kadar büyük veya küçük!” Bu el çabukluğu, zorluğu ortadan kaldırmadı, sadece kalkülüsün içindeki çelişkileri örtmek için bir incir yaprağı sağladı.

Büyük Alman matematikçisi Karl Friedrich Gauss (1777-1855) matematiksel sonsuzluğu kabul etmeye hazırdı, ancak gerçek sonsuzluk fikri karşısında dehşete kapılıyordu. Bununla birlikte çağdaşı Bernard Bolanzo, Galileo’nun paradoksundan yola çıkarak “tam sonsuzluk” fikrindeki örtük paradoks üzerinde ciddi bir çalışmaya başladı. Bu çalışma daha sonra sonsuzu pozitif bir şey olarak nitelendiren ve aslında pozitif sayılar kümesinin negatif olarak (yani sonsuz olmayan bir şey olarak) değerlendirilebileceğine dikkati çeken Richard Dedekind (1813-1914) tarafından daha da geliştirildi. Son olarak, George Cantor (1845-1918) sonsuz kümeler tanımının çok daha ötesine gitti ve tamamen yeni bir “sonluötesi sayılar” aritmetiğini geliştirdi. Cantor’un 1870’de yazmaya başladığı eseri, sonsuzluğun Demokritos’la başlayan tüm tarihinin yeniden gözden geçirilişidir. Bundan yola çıkarak, kümeler teorisine dayanan yepyeni bir matematik dalı geliştirildi. Cantor, ne kadar büyük olursa olsun bir alandaki ya da bir hacimdeki veya daha çok boyutlu bir ortamdaki noktaların, bir doğrudaki veyahut ne kadar küçük olursa olsun bir doğru parçasındaki noktalarla birebir eşlenebileceğini gösterdi. Nasıl son bir sonlu sayı olamazsa, aynı şekilde son bir sonluötesi sayı da olamaz. Bu bakımdan Cantor’dan sonra, sonsuzun matematikte işgal ettiği merkezi konum hakkında hiçbir tartışma söz konusu olamaz. Dahası onun çalışmaları, modern matematiğin başına dert olan ve hâlâ çözüm bekleyen bir dizi paradoksu da ortaya çıkardı.

Tüm modern bilimsel analizler süreklilik kavramına dayanır, yani uzaydaki iki nokta arasında başka sonsuz sayıda nokta vardır ve aynı şekilde zamanın herhangi iki noktası arasında da başka sonsuz sayıda an vardır. Bu kabulleri yapmaksızın modern matematik işleyemezdi. Bu gibi çelişkili kavramlar eski kuşaklar tarafından öfkeyle reddedilir veya en azından şüpheyle karşılanırdı. Sadece Hegel’in diyalektik dehası (yeri gelmişken kendisi büyük bir matematikçidir) sonlu ve sonsuz, uzay, zaman ve hareket üzerine analizlerinde bunların hepsini öngörme yeteneğindeydi. Ama yine de bütün delillere rağmen birçok modern matematikçi, sonsuzluğun geçerliliğini “soyut” matematiğin bir olgusu olarak kabul ederken, sonsuzluğun nesnelliğini inkâr etmekte ısrar ediyorlar. Böyle bir ayrımın hiçbir anlamı yoktur. Matematik gerçek, nesnel dünyayı yansıtmayı beceremiyorsa, ne işe yarar? Modern matematikte (ve dahası inanılmaz gibi gelse de teorik fizikte), nesnel dünyadan bağımsız olarak bir denklemin geçerliliğinin tümüyle onun estetik değeri sorunu olduğu varsayılarak, en mistik biçimli idealizme belirli bir geri dönüş eğilimi vardır.

Matematiksel işlemlerin gerçek dünyaya uygulanabilmesi ve anlamlı sonuçlar elde edilebilmesi, matematik ile gerçek dünya arasında bir yakınlık olduğunu gösterir. Aksi takdirde matematiğin pratik uygulanabilirliği olmazdı ki, durumun böyle olmadığı açıktır. Modern matematikte sonsuzluğun kullanılabilmesinin ve kullanılma zorunluluğunun nedeni, bizzat doğanın kendisinde sonsuzluğun varoluşuna dayanır, ki kendisini matematiğe dayatan da, tüm kapı dışarı etme çabalarına karşın davetsiz bir misafir gibi çıka gelen bu doğadır. Matematiğin sonsuzluğu kabul etmesinin neden bu kadar uzun sürdüğü Engels tarafından çok güzel açıklanmıştır: Sonu olan fakat başlangıcı olmayan bir sonsuzluğun, başlangıcı olan fakat sonu olmayan bir sonsuzluktan ne daha çok ne de daha az sonsuz olduğu açıktır. En küçük diyalektik kavrayış bile Bay Dühring’e, başlangıç ve sonun tıpkı Kuzey ve Güney kutbu gibi zorunlu olarak birbirlerine bağlı bulunduğunu ve eğer son kaldırılıp atılırsa, bizzat başlangıcın bir son haline –bir serinin sahip olduğu tek son haline– geleceğini (ve tersi) söylemesi gerekirdi. Sonsuz serilerle çalışma matematiksel alışkanlığı olmasaydı, bütün aldanma imkânsız olurdu. Matematikte belirsize, sonsuza ulaşmak için belirli, sonlu terimlerden başlamak gerektiği için, pozitif ya da negatif olsun tüm matematiksel seriler 1 sayısıyla başlamak zorundadır, aksi takdirde bu seriler hesap yapmakta kullanılamazlar. Ama matematikçinin mantıksal gereksinmesi gerçek dünya için zorunlu bir yasa olmaktan çok uzaktır.[8]