Uzam adını verdiğimiz vakum ortamda hiçbir parçacık bulunmasa dahi titreşen küçük yaylar bulunduğunu düşünebiliriz. Bu küçük yaylar büyük çapta bağımsız titreşimler yaparlar. Fakat her biri bir dalga fonksiyonu ile tanımlanabilir. Belli bir küçük yayın titreşmesi onun enerjiye sahip olduğunu gösterir. Bu titreşimlere “vakum titreşimleri” dendiğinden söz etmiştim (Bakınız Titreşen kuantum düğümler başlıklı yazım).

En enerjisine sahip n’inci yayın Vn = e-ikEn potansiyeli içinde titreştiğini yazabiliriz. Tüm vakum alan için toplam potansiyel n üzerinden toplam olmalıdır. Ancak bu toplam sonsuza kadar olamaz. Sıfırdan başlayarak bir maksimum “Üst kritik değere” kadar olmalıdır. Çünkü daha önce de belirttiğim gibi, sistem Üst-kritik değere ulaşınca değişim aniden ve kendiliğinden olur. Şu halde üst-kritik değeri m ile gösterirsek, toplam potansiyel

V = ∑m e-ikEn Burada n=0 dan m’ye toplam kast edilmektedir. Fakat bir a

n=0

parametresi ilavesiyle toplam işaretini kaldırabiliriz. V(0,m) = an e-ikEn denklemi n üzerinden toplam ifade etmekte ve V(0,m) potansiyeli 0 ile m sabit tam sayıları arasında tanımlı olduğu anlaşılmaktadır. Belli bir yayın Er enerjisine sahip olma ihtimali (olasılığı) toplam potansiyeldeki oranı kadardır. Yani, Vr / V(0,m) olup bu orana Pr diyebiliriz.

Böylece Pr(0,m) = e-ikEr / an e-ikEn bağıntısını elde ederiz.

Veya aynı ifadeyi şu şekilde de yazabiliriz. Pr(0,m) = e-ikEr / V(0,m). Belli bir Q değişkeninin beklenen değeri (bu değer enerji veya momentum olabilir) şu olur:

Q(m) = Qr . Pr(0,m) = Qr . e-ikEr / V(0,m) burada yine r değişkeni 0 dan m ye kadar toplanmaktadır.

Vakumun bir “iç enerjisi” bu yaklaşımla U(m) = Er e-ikEr / V(0,m) olur.

Bu ifadede r sabit tam sayılar üzerinden sıfırdan m ye kadar toplam vardır. Matematik ifadenin anlamı m kritik değerine ulaşan sistemin (vakumun) iç enerjisinin beklenen değeri olmaktadır.

Statistik mekanikte V(0,m) yerine aynı anlamda Z fonksiyonu kullanılmaktadır. Eğer enerji sadece sıfır ve sabit bir E değeri alabiliyorsa Z = V(0,1) olur. Bu durumda,

Z = 1 + e-E/kT olur. Bu Z fonksiyonu Fermi-Dirac istatistik fonksiyonudur.

Görülüyor ki, daha önce tanımlamış olduğum en genel dalga fonksiyonu maddesel parçacıkların da istatistiğini vermektedir. Yukarıdaki V(0,m) veya Z potansiyeli ancak kritik değerin altında geçerlidir. Kritik değere ulaşıldığında durum değişir. Üst veya alt kritik değerde devreye Takiyonlar girer ve sistemde ani bir sıçrayışla farklı bir yapı oluşur. Bu yapı her sistemin kendi iç dinamiklerine göre farklı olabilir. Fakat amaç gene de yeni bir denge durumuna ulaşmaktır.

Bu değişimi bir merdivenin basamaklarını tırmanmaya benzetebiliriz. Aynı basamakta durduğumuz sürece yukarıdaki Z fonksiyonu geçerlidir. Bir basamak üste veya alta geçiş durumunda ani bir süreksiz değişim oluşur. Ancak basamak değiştiği anda yeni bir denge durumu oluşmuş demektir.

Denge durumundan uzak durumlara karasız denge durumları da diyebiliriz. İşte, kritik noktalarda sistem kararsız dengededir ve yeni bir denge durumuna ulaşması için gizli olan simetrinin kırılması gerekir.