En genel dalga fonsiyonu olarak tanımladığım ifadenin her boyutta uygulaması bulunmaktadır. Bu ıfadedeki sabit sayılarda oluşan ufak değişiklikler çok farklı sonuçlara yol açabilmektedirler. Örgü-alan boyutundan molekül boyutuna geçtiğimizde yine aynı denklem karşımıza çıkıyor.

Kimyasal denge durumunda bir yandan kimyasal bileşenler oluşurken, diğer yanda ve aynı hızla bozunmaları gerekmektedir. Böylece her iki olayın (oluşum ve bozunum) hızı eşit olmasa da, son derece yakın olduklarını görürüz. Denge durumunda kimyasal etkileşme yokmuş gibi görünse de bu görüntü yanıltıcıdır. Denge durumu daima bir peryodik titreşim hareketi içerir.

Termodinamik bir sistemde etkileşimleri ve dolayısıyla sistemin zaman içindeki dönüşümünü saptayan fonksiyona “Termodinamik Potansiyel” denir. Bu potansiyel K harfi ile gösterilir. K’nın zaman içindeki değişimi ise:

K(t) = A. K-Δt/RT seklindedir. Burada A sabit bir sayı, R gaz sabiti, T sıcaklık ve Δt sonlu bir zaman aralığıdır. K(t) ifadesinin bir önceki yazıdaki (i hariç) ψ(t) ifadesine ne derece benzediği ortadadır. Zaman sonlu aralıklarla arttığında denge oluşumunda etken olan Takiyon dalga fonksiyonu

ψ(t) = an e-ik(Δt)En şeklini almaktadır. Bu ifadenin gerçel kısımları değişik sistemlerin davranışlarını sergilemekte kullanılabilir.

Şimdi biraz daha üst bir düzeyde denge durumunu inceleyelim. Ekoloji denen bilim dalı doğadaki hayvan ve bitki toplulukları arasındaki denge durumu ile ilgilenir. Özelikle av ile avcı gurupların dengesi incelendiğinde oldukça basit bir ilişki ortaya çıkmaktadır. Avcı gurubun belli bir zaman aralığındaki artışı sabit bir katsayı ile belirtiliyor. Böylece avcı topluluğunu R ile belirtirsek,

ΔR / Δt = kR şeklinde bir basit fark denklemi elde ederiz. Bu denklemin çözümü gene bir önceki ifadeye benzer şekilde

R = A. e-kΔt şeklindedir. Yukarıdaki fark denklemini biraz daha ayrıntılı hale getirebiliriz. Av ile avcının etkileşim terimini de katarsak ΔR / Δt = kR + qRP şeklini alır. Burada P terimi av olan gurubu ifade etmektedir. Aradaki etkileşim sabiti de q ile gösteriliyor. Etkileşim sabitini tespit etmeye etken olan bir özellik, iki gurubun ne derece sık karşılaştıkları olabilir. Bu denkleme Lotka-Volterra denklemi de denmektedir. Ancak bu denklem eksiktir. Zira avcı gurubun azalmasını sağlayacak bir terim eksiktir. Onu da eklersek, en genel Lotka-Volterra denklemi

ΔR / Δt = kR + qRP + ΔP şeklini alır. Şimdi 3 adet (A, k ve q) parametrenin farklı değerleri için denklem çözüldüğünde doğadaki av-avcı ilişkisini bulabilmekteyiz. Belli değerler için ilişki tümüyle dalgasal bir yapı ortaya çıkarmaktadır. Yani av azaldığında avcıların da ölümü arttığından avcı topluluğunun sayısı azalmakta, av sayısı arttığında birlikte avcı topluluğun sayısı da artmaktadır. Böylece av-avcı dengesi dalgasal bir yapı içinde sürüp gidebilmektedir.

Evrende mikro düzeyden makro düzeye kadar her sistem birçok düğüm noktasından oluşmuştur. Bu düğümler sistem büyüdükçe büyür. Sırasıyla elementer parçacıklar, moleküller, hücreler, tek veya az hücreli canlılar, çok hücreli canlılar, canlı ve cansız gurupları, gök cisimleri ve gök adaları hep aynı mekanizma sayesinde oluşurlar. Burada bilgi artışı düğüm sayısı ile orantılıdır. Bir gurubun üyesi (düğümü) ne derece çoksa bilgi birikimi o derece fazla olur. Bu bakımdan çok hücreli canlıların bilgi birikimi tek hücreli canlılardan fazladır.

Gök adaları ve karadeliklerde de bilgi birikimi olur. Çünkü bilgi Entropinin zıddına, düzen arttıkça artar. Bu düzeni getiren de Takiyonların etkisidir.