Gizli Kritik noktaya doğru çekilen sistem 3 farklı davranış gösterebilir. a) Sabit bir kritik noktaya doğru gittikçe küçülen adımlarla yaklaşır ve noktasal sonsuzluğa ulaşır. b) Kritik noktaya hiç ulaşamaz ama onun etrafında peryodik (tekrarlanan) salınımlar yapar. c) Karmaşık bir düzen içinde kritik nokta civarında dolanır.

Üçüncü durumu bir önceki yazımda inceledim. Birinci durumu da Altın Oran başlıklı yazımda incelemiştim. Şimdi b durumu üzerinde biraz duralım. Doğada pek çok dengeli yapı sabit aralıklarla tekrarlanan hareketler yapar. Mikro alemdeki atomların yapısından tutun da makro alemdeki gök cisimlerine kadar, varlığını sürdüren yapılarda bu tür tekrarlanan bir hareket görmekteyiz.

Dünyamızda yaşayan tüm canlılar varlıklarını sürdürmek için tekrarlanan hareketler yaparlar. Nefes alıp verme hareketi, kalbin açılıp kapanarak kanı pompalaması, beslenmedeki sürekli tekrar durumu, düzenli olan periyodik hareketlerdir.

Bir önceki yazımda görülen üç adet grafikte Vn(z) fonksiyonunun a = 3.2 ve b = 3.1 değerleri için potansiyelin iki nokta arasında gidip geldiğini gördük. Ancak, bu iki nokta rasyonel sayılar değildirler. Z(1) ve Z(2) noktaları hiç bitmeyen bir dizi şeklinde sürüp giderler. Yani her iki nokta da irrasyonel sayılardır. Aynen pi ve e sayıları gibi bitmeyen bir yapıları vardır. Şu halde bu durumda dahi bir tür karmaşa vardır ama sistemin dengeli bir yapı gösterip varlığını sürdürmesini sağlayan bir karmaşa türüdür. Fizik kuramlarındaki sabit sayıların irrasyonel olduklarından daha önce söz etmiştim.

Fizik kuramları düzenli olarak kendini tekrarlayan hareketlerin matematik ifadelerinde sinüs ve cosinüs fonksiyonlarını kullanırlar. Her iki fonksiyonda kendini tekrarlayan bir yapı vardır. Sin ve Cos şeklinde kısaltılarak tanımlanan bu iki fonksiyon artı 1 ile eksi 1 arasında sürekli olarak değişirler.

Her iki fonksiyon da e sayısı ile yakından ilişkilidir. eu = cos(u) + i.sin(u) şeklinde yazılabilir. Burada i = √-1 dir. Bu iki terimden birincisi gerçel ikincisi sanaldır. Vn(z) potansiyelindeki z sayısı da z = a +i.b şeklinde yazılabilir. Z sanal sayısı ile e sayısı arasında belirgin bir benzerlik göze çarpmaktadır. Ayrıca e fonksiyonuna e denmesinin nedeni eksponansyel (geometrik) bir artış içinde oluşundan dolayıdır. Bu artış ile n>1 şartını içeren herhangi bir zn polinomu aynı olmasalar da belli bir değere kadar benzer bir yapı gösterirler. Zaten bizim için de önemli olan belli iki değer arasındaki salınım hareketidir.

Bu bakımdan dalgasal hareketi belirtmek için genelde e fonksiyonu kullanılır. Nitekim, eksponansyel (üstel) fonksiyonun seriye açılımı:

ex = 1 + x + x2/2! + x3/3! + x4/4! + ......

şeklinde sonsuza doğru artarak gider. Bu serideki ilk 5 terim göz önüne alındığında karşımıza Vn(x) potansiyelinin davranışına benzer bir yapı ortaya çıkmaktadır. Üstel artışı doğada birçok sistemim artış şeklinde görmekteyiz. Bir beslenme ortamında mikro organizmalar (tek hücreli canlılar) üstel olarak artarlar. Yani, artışları çizgisel değildir. Bulaşıcı hastalıkların yayılımı da çizgisel değildir. Örneğin, çiçek hastalığını taşıyan virüs insanlar arasında üstel olarak yayılır.

Elektrik devrelerde önemli rol oynayan kondansatörler üstel olarak dolarlar ve boşalırlar. Örütbağa bağlanan bilgisayar sayısı da belli saatlerde üstel olarak artar. Her bilgisayar örütbağın bir düğümü olarak görülürse, düğüm sayısının da üstel olarak arttığını görmekteyiz.

Doğada atmosfer basıncı da yükseklik arttıkça üstel olarak azalır. Radyoaktif maddelerin bozunması da üstel bir değişimin sonucu olduğu saptanmıştır. Kuantum mekaniğinde Schrödinger dalga denklemini sağlayan fonksiyonun da üstel bir fonksiyon olması tesadüf değildir.