Doç. Dr. Haluk Berkmen

Doğada gözlediğimiz sistemlerde ortak bir yapı, temel bir benzeşim olmakla birlikte bu karmaşık yapıyı lineer (çizgisel) ve sürekli denklemlerle ifade etmek mümkün değildir. İlk bakışta çok karmaşık gibi görünen pek çok doğa olayında ortak bir tabanın bulunduğu görüşü artık kaçınılmaz bir gerçek olarak beliriyor. Bu tabanın adına matematikçiler, alışık olduğumuz 3 boyuttan farklı olarak, kesirli boyut içerdiğinden Fraktal demişlerdir. Fraktal yapıları oluşturan matematiğin kökeninde lineer olmayan bir denklemin kendi üzerine dönerek ‘iteratif’ tekrarı bulunur. Bu tür fraktal yapılara örnek olarak gökteki bulutları, ağaçların dal ve yapraklarını, akciğerlerin içyapısını, parmak izlerini, süngerleri hatta deniz kıyılarını dahi gösterebiliriz. Hepsi de istatistik olarak kendilerine benzerler. Fraktal matematik, bilgisayarların ortaya çıkışı ile birlikte bir sanat dalı olarak o kadar ileri gitmiştir ki doğadaki oluşumları büyük bir gerçeklikle kurgulayabilmektedir.

Henri Poincaré (1854-1912) daha 1890 yılında kendine benzeyen matematik fonksiyonları incelemiş ve 1890 yılında “Otomorf fonksiyonlar hakkında” başlıklı bir kitap yayınlamıştır. Fraktal bir yapıyı matematik bir temelden başlayarak görüntü halinde dünyaya sunan kişi Benoit Mandelbrot (d. 1924) olmuştur. Mandelbrot’un geliştirmiş olduğu fraktal matematiği basit bir denklemden başlayarak ve sürekli kendini tekrar ederek gittikçe karmaşık hale dönüşen, fakat temel benzeşimini koruyan geometrik yapıları gözler önüne sermiştir.

Fraktal matematiği ile klasik Öklid matematiği arasında şu temel farklar vardır: Öklid matematiğinde sonlu şekiller ve sürekli fonksiyonlar bulunur. Fraktal matematiğinde ise şekiller sonlu olmayıp fonksiyonlar süreksiz adımlarla gelişir. Ayrıca Öklid matematiği insan yapısı nesneleri tanımlamakta başarılı iken, fraktal matematiği doğal yapıları tanımlamakta daha başarılıdır. İlk yayınlandıkları 1975 yılından bu yana matematik fraktallar hem bir sanat kolu hem de yeni bir matematik dalı oluşturmuşlardır. Matematik fraktalları inceleyen fizikçi Mitchell Feingenbaum (d. 1944) ise karmaşa (kaos) kuramının temellerini atarak fizik bilimine yeni bir araştırma alanı açmıştır.

Doğadaki karmaşık ve kaotik yapının ortaya çıkmasını sağlayan, belli bir noktada ‘çatallaşma’ diyebileceğimiz mekanizma ile sistemin yeni dallara bölünmesi ve farklı yönlere doğru gelişimin devam etmesidir. Bu şekil bir matematik fonksiyonun gelişimini gösteriyor. Fonksiyon kendi üzerine dönüşümlü, iteratif bir fonksiyondur. Önce tek bir değer olarak gelişen fonksiyon, bir anda iki çatala ayrılıyor. İterasyonlar devam ettikçe çatallaşmalar hem artıyor hem de daha sık aralıklarla oluşmaya başlıyorlar. Yani bölünme ve farklılaşma önce yavaş sonraları gittikçe daha hızlı olmaya başlıyor. Fakat temel yapı hep kendine benzeyerek çeşitlilik oluşturuyor. Bu temel yapının gelişimini zaman içinde değerlendirirsek türlerin oluşumunu ve basitten karmaşığa doğru değişik türlerin gelişimini kavrayabiliriz. Kavrama sözü ile mantıksal bir açıklamayı değil, sezgisel bir aydınlanmayı kastediyorum.

Şekil-1’de tek bir matematik fonksiyonun kendi üzerine süreksiz adımlarla dönüşümü sonucunda ortaya çıkan karmaşık yapı görülmektedir. Günümüzde, bilgisayarlar sayesinde basit diferansiyel denklemlerle açıklanamayan doğal yapıları ve dinamik oluşumları fraktal matematiği ile açıklayabilen yeni bir Karmaşa bilimi gelişmek üzeredir. “Karmaşık yapılar” deyince sonucu tahmin edilemeyen, lineer denklemlere dökülemeyecek kadar girift olaylar ve oluşumlar kastediliyor. Sayıların renklere dönüşümü sayesinde çok karmaşık bir gelişim sürecini, bütüncül olarak, tek bir dinamik resim olarak izleyebilmekteyiz. Fraktal geometride incelenen nesnenin veya olayın boyu önemli değildir. Bu bakımdan fizik alanında, evrendeki makro yapılardan biyolojinin mikro yapılarına kadar, çeşitli alanlarda fraktal geometrisi kullanım bulacaktır. Bugün için sanat alanı olarak kabul edilen fraktal geometrisi gelecekte iklim biliminde, biyolojide ve genetikte, tıpta, hatta ekonomide bile uygulama alanları bulacaktır.

Canlı sistemlerin gelişimini incelediğimizde fraktal yapılara benzeyen iki önemli benzerlik bulmaktayız. Bunlar:

1. Canlı sistemlerde doğrusal (lineer) olmayan bir özellik bulunmaktadır ve,
2. Canlı sistemler kendilerine benzeyen yapılar oluşturarak dönüşmektedirler.

Bu iki özelliği farklı sözlerle ifade etmek gerekirse “canlı sistemlerde süreksiz bir süreklilik bulunur” veya “doğada hem süreklilik hem süreksizlik birlikte bulunur” diyebiliriz. Canlı sistemlerin kendilerine benzeyen yapılar oluşturmaları için kendi üzerlerine dönüşen bir özelliğe sahip olmaları gerekir. Günümüze kadar geliştirilmiş olan doğa bilimi olan fizik biliminde hep trigonometrik lineer fonksiyonlar kullanılmıştır. Fakat bu fonksiyonlarda belirsizlik bulunmadığından, bu fonksiyonlarla doğanın karmaşık yapısı asla açıklanamamıştır. Görüyoruz ki kendi üzerine dönüşüm içeren Fraktal yapılar sadece statik, durağan resimler olarak karşımıza çıkmıyorlar, aynı zamanda doğada hareket halinde olan canlı ve cansız yapıların da davranışlarını açıklıyorlar. Örneğin, mercanların ve süngerlerin oluşuna, akarsuların türbülansına, yükselen dumanın karmaşık görüntüsüne, değişen iklim şartlarına dinamik fraktallar olarak bakabiliriz.

Çizgisel bir gelişme göstermeyen sistemlerde, çok yakın başlangıç şartları dahi çok farklı sonuçlar verebilirler. İşte Karmaşa kuramında “Kelebek etkisi” denen olay budur. Eğer gelişim ve etkileşim çizgisel olmayıp karmaşık ise bir kelebeğin kanat çırpışı kadar ufak bir olay sonuçları tahmin edilemeyecek kadar büyük sonuçlara yol açabilir. Deprem, çığ ve tsunami gibi doğal afetleri tetikleyen küçük bir olay olabilir.

Koch fraktalı

Şekil -2’nin sol üst köşesinde görülen eşkenar bir üçgenle işe başlayalım. Her kenarı üçe bölüp orta kısma yeni bir eşkenar üçgen ekleyelim. Bu işlemi sürdürdükçe üçgenler küçülecek şeklin kenar uzunluğu artacaktır. Bir kenarının uzunluğu 1 birim olan bir eşkenar üçgende oluşturulan bu süreksiz değişiklikler gittikçe bir kar kristaline benzeyecek ve kenar uzunluğu 3x(4/3)x(4/3)x(4/3)…… çarpımı uyarınca artacaktır. Bu şekli ilk düşünen kişi İsveçli matematikçi Niels Helge von Koch (1870-1924) olduğundan şekle Koch eğrisi denir. Koch eğrisi Şekil -2’nin alt kısmında görüldüğü gibi bir çizgi içermesine rağmen sürekli bir eğri değildir. Süreksiz adımlarla oluşmuş kapalı bir alan içerse de iki boyutlu bir düzlem değildir. Şu halde ne tek boyutlu bir çizgi ne de iki boyutlu bir alan olarak düşünülmelidir. Tek boyut ile iki boyut arasında kesirli bir boyut içeren bir fraktaldir.

Doğal olarak oluşan kar kristallerinin 3 atom (iki hidrojen bir oksijen atomu olan H2O) içeren su moleküllerinden ibaret oldukları hatırlanırsa, kar kristallerini birer Koch fraktali olarak görebiliriz.

Fraktal sünger

Şekil -3’ün solunda, orta bölgesinde kare bir delik bulunan bir kare görülüyor. Bu karenin dolu bölgelerine bakarsak 8 adet eşit boyda kare görürüz. İkinci adımda bu 8 karenin orta bölgelerinde oranı korumak şartıyla daha küçük kare delikler açalım. Aynı oranı koruyarak süreksiz adımları tekrarlarsak gittikçe küçülen ve sayıları artan deliklerden oluşmuş bir halı elde ederiz. Bu halıyı ilk düşünen matematikçi Waclaw Sierpinski (1882-1969) olduğundan delikli yüzeye Sierpinski halısı denir.

Resmin sağında görülen 3-boyutlu şekil Sierpinski halısının 3-boyutlu uzantısıdır. Bu fraktal küp, matematikçi Karl Menger (1902-1985) tarafından düşünüldüğünden “Menger süngeri” olarak bilinir. Bu süngerin boyutu 2 ile 3 arasındadır. Çünkü hem iki boyutlu bir yüzey gibi herhangi bir noktasından başlayarak hiç yüzeyden ayrılmadan herhangi bir diğer noktaya ulaşılabilir, hem de üç boyutlu bir nesne gibi uzay içinde yer kaplar. Şu halde Menger süngeri2 ile 3 boyut arasında kesirli boyut içeren fraktal bir yapıdır.

Doğal süngerlerin bu tür düzgün delikleri bulunmasa da, onları da kesirli boyut içeren fraktal yapılar olarak düşünebiliriz.

Doğal görüntüler

Şimdiye kadar gördüğümüz örnekler geometrik şekilleri içerdiklerinden doğal oluşumlara olan benzerlikleri oldukça azdı. Bilgisayar teknolojisinin gelişimi sayesinde doğal oluşumlara çok daha fazla benzeyen matematik fraktallar oluşturulmuştur. Şekil - 4’de fraktal bir çam dalını ve Şekil -5’de fraktal bir dağ ile göl manzarasını farklı açılardan görmekteyiz.

Lorenz fraktalı

Fraktal matematiği sayesinde sadece doğadaki statik görüntüleri değil, dinamik ve karmaşık olayları da kurgulamak mümkündür. Bir iklim bilimci (meterolog) olan Edward Lorenz (1917-2008) atmosferde oluşan rüzgâr, fırtına, tayfun gibi dinamik hava akımlarını kurgulayan bir model geliştirmişti. Bu modeli bilgisayarda çalıştırınca mevsimler boyunca oluşan farklı atmosferik olaylar yazıcıya sayısal olarak aktarılmakta idi. Günün birinde Lorenz başlangıç zamanları sadece birkaç dakika farklı olan iki çıktıyı karşılaştırmayı düşündü. Bu iki çıktının uzun süreli sonuçlarında pek az fark bulunacağını tahmin ediyordu. Oysa ki, sonuçlarda büyük farklar ortaya çıktığını hayretle gördü. Aynı durum birbirlerine yakın seçilen herhangi iki başlangıç zamanında tekrarlanıyordu. Başlangıç zamanlarındaki küçük farklar süre uzadıkça artıyor ve tümüyle önceden belirlenmesi olanaksız hale dönüşüyordu.

Lorenz’in denklemleri kendi üzerlerine dönerek oluştuklarından süreksiz adımlar içeriyorlar. Ortaya çıkan sonuçlar sürekli bir fonksiyon olarak çizildiğinde bir kelebeğin kanatlarına benzeyen Şekil -6’daki görüntü ortaya çıkar. Bu şekil “Lorenz fraktalı” veya “Lorenz tuhaf çekicisi” olarak meşhur oldu ve karmaşa kuramının başlangıcını oluşturdu. Kayalardan akan suyun türbülansı, yükselen sigara dumanının hareketi, fırtınalı rüzgârlar, tayfunlar, borsa hareketleri, zarların yuvarlanışı, kalbin fibrilasyona girmesi gibi çok farklı olaylar karmaşa kuramı ile açıklanabiliyor. Bir ağacın yeni bir budak vererek dal oluşturması, hatta kan damarlarının oluşumu dahi Lorenz Fraktalindeki parametrenin belirli birtakım değerler arasında kaldığı durumlarda gerçekleşebiliyor. Bir coğrafi bölgede bazı tür hava akımlarının oluşumu (hortum, tayfun, muson rüzgarları gibi) belirgin bir sıcaklık aralığına bağlı olduğunu ve aynı olayın farklı sıcaklık aralıklarında neden oluşmadığını Lorenz fraktali sayesinde daha iyi anlıyoruz.

Tuhaf çekici

Lorenz fraktalına baktığımızda söz konusu dinamik sistemin iki merkez etrafında dolandığını fakat her yörüngenin bir öncekinden farklı olduğunu görüyoruz. Bu tür çekici merkezlere anlam verilemediğinden, bunlara “tuhaf çekici” denmiştir. Olayı anlayabilmek için basit bir denklemden hareket edelim. Denklemimiz bir x sayısı ile bir sabit k parametresi içersin ve kendi üzerine dönüşümlü olsun. Ayrıca denklemimizin bir doğruyu tanımlamaması, yani lineer olmaması gerekiyor. Basit bir örnek:

X_n+1 = k.X_n – k.(X_n)²

Denkleminde n+1 inci adımdaki sayıyı hesaplamak için n’inci adımdaki sayıdan yararlanılır. Bu bakımdan süreksiz iterasyonlar yapmak gerekecektir. Örneğin, Şekil -7’nin sol tarafında görülen grafikte k = 2.6 ve X1 = 0.31 seçildiğinde X = 0.61534 değeri tek bir tuhaf çekiciyi oluşturur. Bu değere ulaşmak için 15 iterasyon yeterlidir. Şeklin ortasındaki grafikte iki adet tuhaf çekici k = 3 ve X1 = 0.32 değerleri ile oluşuyor. Bu iki tuhaf çekicinin değerleri X1 = 0.653 ve X2 = 0.680 değerleri arasında gidip gelir. En sağ grafikte ise k = 3.7 ve X1 = 0.72 değerleri seçildiğinde X değerleri tümüyle karmaşık (kaotik) bir davranış içine girer.

Farklı k değerleri çok farklı sonuçlara yol açmaktadır. k = 2.6 için sistem denge durumuna ulaşırken, k = 3 için sistem sürekli salınım yapıyor ve k = 3.7 değerinde karmaşık bir davranış içine giriyor. Her üç davranış türünü sergileyen birçok sistem bulunmaktadır. Hepimizin bildiği en basit örnek damlayan bir musluktur. Musluktan damlayan iki damla arasında geçen zaman süresi sabit olabileceği gibi değişken de olabilir. Bu değişkenliği oluşturan çok küçük dış etkilerdir. Örneğin, su borusundaki bir titreyiş veya hafif bir hava akımı karmaşık davranışa neden olabilir. Böyle bir deney yapılmış ve Scientific American dergisinin Aralık 1986 sayısında yayınlanmıştır. Şekil -8in solunda ve ortasında musluktan belli bir düzen içinde damlayan damlalar görülüyor. Bu damlaları bir mikrofon üzerine düşürterek çıkan ses kayıt edilmiştir. Belli bir anda damlalar Şekil - 8’in sağ tarafında görüldüğü gibi iki damlanın arasında geçen süre karmaşık bir düzen oluşturur.

Bu basit örnekten anlıyoruz ki, mikroskopik etkiler makroskopik sonuçlara yol açabilirler. Ancak, aradaki ilişki belirlenebilen türden, doğrusal (lineer) bir sebep-sonuç ilişkisi içinde oluşmaz. Bu bakımdan geleceği kesinlikle tahmin etmek mümkün değildir. Bu ifadede “kesinlikle” sözünün altı özel olarak çizilmiştir. Çünkü karmaşa kuramında beliren makro düzensizliğin kaynağı mikro düzeydeki, tahmini mümkün olmayan minik boyutlu karmaşık düzensizliklerdir.

Kesirli Fraktal Boyut

Kesirli boyutun ne şekilde ortaya çıktığını bu bölümde aktarmak istiyorum. Kesirli boyut sadece fraktal yapılara ait bir özelliktir. Kendine benzeyerek gelişen ve değişen tüm yapılarda bu özellik bulunur. Örnek olarak alttaki Şekil – 9’a bakalım.

Kırmızı düz çizgiyi kendine benzeyen eşit parçalara bölelim. Bu sayı N olsun. Görüldüğü gibi 2ye böldüğümüzde N = 2 ve 3e böldüğümüzde N = 3 oluyor. L ise bir kenarın küçülme oranı olsun. İlk iterasyonda kenar önce ikiye sonra da üçe bölünüyor. Şu halde N = LD veya her iki tarafın logaritmasını alırsak log(N) = D log(L) olur. Yani:

D = log(N) / log(L)

Altta görülen Sierpinski üçgenine (Şekil – 10) bu formülü uygulayalım.

İlk iterasyonda ortadan bir üçgen çıkarılınca geriye 3 tane eşit küçük üçgen ve bir kenar da 2 parçaya bölünmüş oluyor. İlk iterasyon için N = 3 ve L = 2 ve bir sonraki iterasyonda N = 9 ve L = 4 olur. Şu halde,

D = log(3)/ log(2) = 0.47712 / 0.30103 = 1.58496 elde ederiz. Keza.

D = log(9)/ log(4) = 0.95424 / 0.60206 = 1.58496 olur.

Tüm daha yüksek iterasyonlar da aynı değeri verir. Şu halde Sierpinski üçgeni sonuçta (sonsuz sayıda iterasyon yapıldığında) ne bir yüzey ne de bir çizgi olarak tanımlanabilir. Zira boyutu 1 ile 2 arasında bir değere sahiptir. Tüm fraktal yapılar da benzer şekilde kesirli boyut sahibidirler.