Engels ve ondan önce Hegel, matematikte bulunan sayısız çelişkiye işaret etti. Matematikçilerin “yüce bilimleri” için öne sürdükleri kusursuzluk ve neredeyse papa yanılmazlığı iddialarına rağmen bu hep böyleydi. Bu moda, mistik bir Sayı anlayışını ve uyumlu evren fikrini taşıyan Pisagorcular tarafından başlatıldı. Fakat çok geçmeden uyumlu ve düzenli matematiksel evrenlerinin, çözümü onları çaresizliğe sürükleyen çelişkilerle yüklü olduğunu keşfettiler. Örneğin bir karenin köşegeninin uzunluğunu sayılarla ifade etmenin imkânsız olduğunu buldular. Sonraki Pisagorcular, iki sayısının karekökü gibi, sayılarla ifade edilemeyecek birçok sayının olduğunu keşfettiler. Bu bir “irrasyonel sayı”dır. Fakat ikinin karekökü bir kesir olarak ifade edilememesine rağmen, bir üçgenin kenar uzunluğunun bulunmasına yarar. Bugünün matematiği, evcilleşmeleri için harcanan bütün gayretlere rağmen hâlâ evcilleşmemiş, ancak bir kez ne oldukları kabul edildiğinde değerli hizmetlerle karşılık veren bu gibi garip hayvanların gerçek bir hayvanat bahçesidir. Bu yüzden, hepsi garip ve çelişkili özellikler gösteren ve hepsi modern bilim çalışmaları için vazgeçilmez olan irrasyonel, imajiner, transendental ve sonluötesi sayılarımız vardır.*

Esrarengiz p (pi) sayısı antik Yunanlılar tarafından iyi biliniyordu ve çocuklar nesiller boyunca bu sayıyı, çemberin çevresi ile çapı arasındaki oran olarak tanımlamayı öğrenmiştir. Gariptir ama onun gerçek değeri yine de bulunamamaktadır. Arkhimedes onun ortalama değerini “tüketme” olarak bilinen bir yöntemle hesapladı. Bu değer 3,14085 ve 3,14286 arasında bir değerdi. Ancak eğer kesin değeri yazmayı denersek, garip bir sonuç elde ederiz: p=3,14159265358979323846264338327950... ve sonsuza kadar gider. Bugün transendental bir sayı olarak bilinen pi (p) bir dairenin çevresini bulmak için kesinlikle gereklidir, ancak cebirsel bir denklemin çözümü olarak ifade edilemez. Bundan başka, hiç de aritmetik bir rakam olmayan eksi birin (–1) karekökü vardır. Hiçbir gerçel (reel) sayı kendisiyle çarpıldığında –1 sonucunu veremeyeceğinden –çünkü iki eksinin çarpımı artı yapar– matematikçiler –1 sayısının karekökünü “imajiner (hayali) sayı” olarak anarlar. En garip yaratık olan bu sayı, adına rağmen hayal gücünün bir uydurması değildir. Anti-Dühring’de Engels buna şöyle işaret eder: Herhangi bir şeyin karesinin negatif bir büyüklük olması bir çelişkidir, çünkü kendisiyle çarpılan her negatif büyüklük pozitif bir kare verir. Öyleyse eksi birin kare kökü sadece bir çelişki değil saçma bir çelişki, gerçek bir saçmalıktır. Ama yine de birçok durumda hatasız bir matematiksel işlemin zorunlu sonucudur. Dahası, ’le işlem yapılması yasaklansaydı, ister yüksek olsun ister basit, matematik ne hale gelirdi?[4]

Engels’in kısa yorumu bugün daha da doğrudur. Artı ve eksinin bu çelişkili bileşimi, kuantum mekaniğinde kesinlikle çok önemli bir rol oynar, modern bilimin temeli olan bir sürü denklem bu sayıyı içerir. Bu matematiğin şaşırtıcı çelişkiler barındırdığı tartışma götürmez. Hoffman bu hususta şunları söylemek zorunda kalmıştır: Böylesi bir formülün, katı deneyler dünyasıyla, yani fizik dünyasıyla herhangi bir bağlantısının olması gerektiğine inanmak güçtür. Yeni fiziğin en derin temelini oluşturacağı ve kendisinden öncekilere göre bilim ve metafiziğin bağrına çok daha derin biçimde uzanacağı, bir zamanlar dünyanın yuvarlak olduğu doktrini ne kadar inanılmaz göründüyse o kadar inanılmazdır.[5]

Günümüzde sözde “imajiner” sayıların kullanımı bir oldu bitti olarak kabul edilmektedir. Eksi birin kare kökü, elektrik devrelerinin oluşturulması gibi bir dizi zorunlu işlem alanlarında kullanılır. Sonluötesi sayılara gelince, bu sayılara da uzay ve zamanın doğasını anlamak için gereksinim duyulmaktadır. Modern bilim, ve özellikle kuantum mekaniği, niteliği açıkça çelişkili olan matematiksel kavramları ullanmaksızın ayakta kalamazdı. Kuantum mekaniğinin kurucularından biri olan Paul Dirac, a çarpı b’nin b çarpı a ile aynı şey olduğunu ifade eden bayağı matematiğin yasalarına meydan okuyan “Q” sayılarını keşfetti.