Asal Sayılar

Matematik insanoğlunun tüm ilgi alanlarının arasında mekik dokuyan öylesine engin bir konudur ki, bazen içinde kaybolup gidersiniz. Arada bir temel esaslara geri dönmeniz gerekir. Sayıların temelinde sayma sayılar vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır?

Mesela 4 = 2 x 2 ‘dir, dolayısıyla daha temel bileşenlere ayrılabilir. Diğer sayıları da böyle ayırabilir miyiz? Neden olmasın, işte birkaç tane daha: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x2, 9 = 3 x 3 . Daha küçük sayıların çarpımından oluştukları için bunlara “bileşik sayılar” denir. Bazı sayılarıysa ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … bunlara asal sayılar veya kısaca asallar denir. Asal sayı yalnızda 1’e ve kendisine tam bölünür. Peki 1 de asal mı diye sorabilirsiniz. Geçmişte birçok matematikçi 1 i asal kabul etmiş olsa da teoremlerin tutarlılığını sağlamak adına 1 asal sayılar arasından çıkarılmıştır. Bu yüzden asal sayıların tanımına “1 den büyük” ifadesi eklenmiştir
Asal sayıları incelemek bizi temelin de temeline götürür. Asal sayılar matematiğin atomlarıdır adeta. Diğer tüm kimyasalları meydana getiren kimyasal atomlar gibi asal sayılar da diğer sayıları meydana getirir. Bu gerçeği matematiksel olarak ifade eden teorem “aritmetiğin temel teoremi” adıyla bilinir.

Asal sayıları belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiçbir kalıba uymazlar.
Bir başka zorlu soru ile asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır. Carl Fredrich Gauss 1792 de henüz 15 yaşındayken belirli bir n sayısından küçük asal sayıların adedini tahmin etmek için bir formül önerdi. Buna günümüzde asal sayı teoremi denir. n = 1000 için formülün verdiği tahmin 172 dir. Gerçek adet olan 168 bundan daha küçüktür. Bunun her n değeri için geçerli olduğu düşünülüyordu, ta ki n = 10371 (1 ve ardından 371 tane 0 içeren devasa bir sayı) sayısında tahminin gerçek sayıdan büyük olduğu gösterilene dek. Asal sayılar her zaman böyle sürprizlerle doludur.

Asal sayılar sonsuzdur. Öklid, Elemanlar adlı kitabında “asal sayılar belirli bir miktar asal sayıdan daha çoktur” diye yazmış ve zarif bir şekilde ispatlamıştır. Asallar sonsuza uzansalar da insanoğlunun en büyük asalı bulma sevdası hiç dinmemiştir. Şu andaki rekor bir Mersenme asalı olan 274207281 – 1 ‘dir ki yaklaşık olarak 1022338618, ya da başka bir deyişle 1 in ardında 22.338.618 tane 0 olan bir sayıya karşılık gelir.
Asal sayılarla ilgili öne çıkan iki cevapsız soru “ikiz asallar problemi” ve “Goldbach sanısı”dır.
İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. İkiz asallar sonsuz mudur? Bunu veya aksini ispat etmeyi başaran olmadı bugüne kadar.

Goldbach sanısı ise “2 den büyük her çift sayı iki asalın toplamı şeklinde yazılabilir” Örneğin 42’yi 5 + 37 veya 11 + 31 veya 13 + 29 şeklinde yazabiliriz. Devasa sayılar da dahil olmak üzere bugüne kadar denenmiş her sayıda bu sanı doğru çıksa da genel ispatı yapılamamıştır.

Asal sayıları “matematiğin atomları” olarak tanımladık. “iyi de,” diyeceksiniz, “atomlardan bile daha temel parçacıklar, sözgelimi kuarklar keşfedildi.” Matematik geri kalır mı hiç? Gauss, örneğin 5 gibi bazı asal sayıları 5 = (1 – 2i) x (1 + 2i) şeklinde yazabileceğimizi gösterdi.

Yorum Durumu: Bir yorum --- Kategori: Bilim --- Etiketler:, , , , , , ---

Genel Görelilik Teorisi

Özel görelilikgravitational-, bir cismin belli bir gözlemciye göre sabit bir hızla ve sabit bir yönde hareket ettiği durumlarda tümüyle yeterlidir. Ne var ki, pratikte hareket asla sabit değildir. Hareketli cismin hızında ve doğrultusunda değişimlere yol açan kuvvetler her zaman söz konusudur. Atomaltı parçacıklar kısa mesafelerde muazzam hızlarla hareket ettiğinden, daha fazla hızlanacak zamanları yoktur ve bu parçacıklara özel görelilik uygulanabilir. Bununla birlikte, gezegenlerin ve yıldızların hareketinde, özel göreliliğin yetersiz kaldığı görülmüştür. Burada devasa kütleçekim alanlarının neden olduğu büyük ivmelerle ilgileniriz. Bir kez daha söz konusu olan şey nicelik ve nitelik sorunudur. Atomaltı düzeyde, kütleçekim, diğer kuvvetlerle karşılaştırıldığında önemsiz büyüklüktedir ve ihmâl edilebilir. Gündelik yaşamdaysa, tersine, kütleçekim hariç diğer tüm kuvvetler ihmâl edilebilir.

Einstein, göreliliği yalnızca sabit hızlı harekete değil, genel olarak harekete uygulamaya girişti. Böylelikle kütleçekimi ele alan genel görelilik teorisi ortaya çıktı. Bu teori yalnızca Newton’un klasik fiziğinden, onun mutlak mekanik evreninden değil, aynı zamanda Eukleides’in mutlak klasik geometrisinden de bir kopuşa işaret etmektedir. Einstein, Öklid geometrisinin yalnızca ideal olarak düşünülmüş bir soyutlama olan “boş uzaya” uygun olduğunu gösterdi. Gerçekte, uzay “boş” değildir. Uzay, maddeden ayırt edilemez. Einstein, uzayın kendisinin maddi cisimlerin varlığıyla koşullandığını iddia etti. Bu düşünce, genel görelilik teorisinde, görünüşte paradoksal bir iddiayla dile getirilir; ağır cisimlerin yakınlarında “uzay eğrilir”. Gerçek, yani maddi evren, hiç de, kusursuz çemberleriyle, dümdüz doğrularıyla, vs. Öklid geometrisinin dünyası gibi değildir. Gerçek dünya düzensizliklerle doludur. Düz değildir, tastamam “çarpık”tır. Diğer taraftan, uzay, maddeden ayrı ve onun yanı sıra varolan bir şey değildir. Uzayın eğriliği, uzayı “dolduran” maddenin eğriliğini dile getirmenin yalnızca bir başka biçimidir. Örneğin, ışık ışınlarının uzaydaki cisimlerin kütleçekim alanlarının etkisiyle büküldüğü kanıtlanmıştır.
Devamını oku

Yorum Durumu: 2 yorum --- Kategori: Bilim, Felsefe --- Etiketler:, , , ---