Asal Sayılar

Matematik insanoğlunun tüm ilgi alanlarının arasında mekik dokuyan öylesine engin bir konudur ki, bazen içinde kaybolup gidersiniz. Arada bir temel esaslara geri dönmeniz gerekir. Sayıların temelinde sayma sayılar vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır?

Mesela 4 = 2 x 2 ‘dir, dolayısıyla daha temel bileşenlere ayrılabilir. Diğer sayıları da böyle ayırabilir miyiz? Neden olmasın, işte birkaç tane daha: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x2, 9 = 3 x 3 . Daha küçük sayıların çarpımından oluştukları için bunlara “bileşik sayılar” denir. Bazı sayılarıysa ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … bunlara asal sayılar veya kısaca asallar denir. Asal sayı yalnızda 1’e ve kendisine tam bölünür. Peki 1 de asal mı diye sorabilirsiniz. Geçmişte birçok matematikçi 1 i asal kabul etmiş olsa da teoremlerin tutarlılığını sağlamak adına 1 asal sayılar arasından çıkarılmıştır. Bu yüzden asal sayıların tanımına “1 den büyük” ifadesi eklenmiştir
Asal sayıları incelemek bizi temelin de temeline götürür. Asal sayılar matematiğin atomlarıdır adeta. Diğer tüm kimyasalları meydana getiren kimyasal atomlar gibi asal sayılar da diğer sayıları meydana getirir. Bu gerçeği matematiksel olarak ifade eden teorem “aritmetiğin temel teoremi” adıyla bilinir.

Asal sayıları belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiçbir kalıba uymazlar.
Bir başka zorlu soru ile asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır. Carl Fredrich Gauss 1792 de henüz 15 yaşındayken belirli bir n sayısından küçük asal sayıların adedini tahmin etmek için bir formül önerdi. Buna günümüzde asal sayı teoremi denir. n = 1000 için formülün verdiği tahmin 172 dir. Gerçek adet olan 168 bundan daha küçüktür. Bunun her n değeri için geçerli olduğu düşünülüyordu, ta ki n = 10371 (1 ve ardından 371 tane 0 içeren devasa bir sayı) sayısında tahminin gerçek sayıdan büyük olduğu gösterilene dek. Asal sayılar her zaman böyle sürprizlerle doludur.

Asal sayılar sonsuzdur. Öklid, Elemanlar adlı kitabında “asal sayılar belirli bir miktar asal sayıdan daha çoktur” diye yazmış ve zarif bir şekilde ispatlamıştır. Asallar sonsuza uzansalar da insanoğlunun en büyük asalı bulma sevdası hiç dinmemiştir. Şu andaki rekor bir Mersenme asalı olan 274207281 – 1 ‘dir ki yaklaşık olarak 1022338618, ya da başka bir deyişle 1 in ardında 22.338.618 tane 0 olan bir sayıya karşılık gelir.
Asal sayılarla ilgili öne çıkan iki cevapsız soru “ikiz asallar problemi” ve “Goldbach sanısı”dır.
İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. İkiz asallar sonsuz mudur? Bunu veya aksini ispat etmeyi başaran olmadı bugüne kadar.

Goldbach sanısı ise “2 den büyük her çift sayı iki asalın toplamı şeklinde yazılabilir” Örneğin 42’yi 5 + 37 veya 11 + 31 veya 13 + 29 şeklinde yazabiliriz. Devasa sayılar da dahil olmak üzere bugüne kadar denenmiş her sayıda bu sanı doğru çıksa da genel ispatı yapılamamıştır.

Asal sayıları “matematiğin atomları” olarak tanımladık. “iyi de,” diyeceksiniz, “atomlardan bile daha temel parçacıklar, sözgelimi kuarklar keşfedildi.” Matematik geri kalır mı hiç? Gauss, örneğin 5 gibi bazı asal sayıları 5 = (1 – 2i) x (1 + 2i) şeklinde yazabileceğimizi gösterdi.

Yorum Durumu: Bir yorum --- Kategori: Bilim --- Etiketler:, , , , , , ---

Boltzmann ve Zaman

zaman-tersiİşaret edilmesi gereken temel sorun şudur: Zaman fiziksel evrenin nesnel bir özelliği midir, yoksa tümüyle öznel bir şey, aklın bir yanılsaması veya gerçek hiçbir ilişkisinin olmadığı şeyleri tanımlamanın uygun bir biçiminden mi ibarettir? Bu sonuncu tutum, hepsi de öznel idealizm felsefesiyle yakından ilişkili bir dizi farklı düşünce ekolü tarafından şu ya da bu ölçüde savunula gelmiştir. Gördüğümüz gibi Mach bu öznelciliği bilime sokmuştu. Bu yaklaşım termodinamik biliminin öncüsü olan Ludwig Boltzmann tarafından 19. yüzyılın sonlarına doğru kesin bir biçimde yanıtlanmıştı. Ernst Mach’ın etkisi altındaki Einstein, en azından daha yolun başındayken, henüz bu yaklaşımın son derece zararlı sonuçlarını kavramadan önce, zamanı gözlemciye bağlı olan öznel bir şey olarak ele almıştı. 1905’te, özel görelilik teorisi hakkındaki makalesi, her farklı gözlemciye ilişkin “yerel zaman” kavramını ileri sürmüştü. Buradaki zaman kavramı klasik fizikten aktarılan bir düşünceyi barındırır; zamanın tersinir olduğu düşüncesini. Bu gerçekten de tamamen sıradışı ve tüm deneyimimize meydan okuyan bir kavramdır. Film yapımcıları sıklıkla, kamerayı tersine çalıştırarak elde ettikleri kamera hilelerine başvururlar; süt, bardaktan gerisin geriye şişeye akar, otobüs ve arabalar geri giderler, civcivler kabuklarına geri dönerler vesaire. Tüm bunlara verdiğimiz tepki gülmektir, zaten bu hilelerin amacı da budur. Güleriz, çünkü görmekte olduğumuz şeylerin yalnızca imkânsız olduğunu değil, saçma olduğunu da biliriz. Gördüğümüz süreçlerin tersine çevrilemeyeceğini biliriz.
Devamını oku

Yorum Durumu: Bir yorum --- Kategori: Bilim, Felsefe --- Etiketler:, , , , , , , , ---

Öngörü Mümkün mü?

ruletBir parayı havaya atığımızda, “yazı ya da tura” gelme şansı 50’ye 50’dir.

Bu gerçekten de öngörülemez olan rastlantısal bir olgudur. (Yeri gelmişken, kendi etrafında dönerken, para ne “yazı”dır ne de “tura”; diyalektik –ve yeni fizik– onun hem yazı hem de tura olduğunu söyleyecektir.) Yalnızca iki olası sonuç olduğundan, şans ağır basar. Ama çok sayıda para atımı söz konusu olduğunda işler kökünden değişir. Bir “şans” oyununa dayandıkları varsayılan kumarhane sahipleri bilirler ki, uzun vadede, sıfır ya da çift sıfır da diğer herhangi bir sayı kadar sıklıkla gelecektir, ve bu nedenle bol ve öngörülebilir bir kâr elde edebilirler. Aynı şey, tek tek müşterilerin kesin kaderi öngörülemez olsa bile, son tahlilde pratik kesinlikler olduğu anlaşılan belli olasılıklardan yüklü paralar kazanan sigorta şirketleri için de geçerlidir. Bebeklerin cinsiyetinden bir fabrikanın üretim hattında ortaya çıkan arızaların sıklığına kadar, “yığınsal tesadüfi olaylar” olarak bilinen şeyler çok geniş bir fiziksel, kimyasal, biyolojik ve toplumsal olgular alanına uygulanabilirler. Olasılık yasalarının oldukça uzun bir tarihi vardır ve geçmişte de farklı alanlarda kullanılagelmiştir: Hatalar teorisinde (Gauss), atışlarda kesinlik teorisinde (Poisson, Laplace) ve her şeyden önce istatistikte. Örneğin, “büyük sayılar yasası” şu genel ilkeyi inşa etmiştir; çok fazla sayıdaki tesadüfi faktörlerin birleşik etkisi, böylesi faktörlerin büyük bir kısmı açısından, tesadüften hemen hemen bağımsız sonuçlar üretir. Bu fikir 1713 gibi erken bir tarihte Bernoulli tarafından dile getirilmişti, ardından onun teorisi 1837’de Poisson tarafından genelleştirildi ve 1867’de Çebişev bu teoriye son halini verdi.

Heisenberg’in yaptığı tek şey, yığınsal ölçekli tesadüfi olayların zaten bilinen matematiğini atomaltı parçacıkların hareketine uygulamaktı, tahmin edilebileceği gibi atomaltı düzeyde tesadüfilik unsuru hızla etkinlik kuruyordu. Olasılıklara hükmeden kesin ve harikulâde yasalar keşfetmiş olan kuantum mekaniği, bunu, bilimin temel belirsizlik handikabının üstesinden gelmesini sağlayan çokluklarla başardı. Bilimin cesur öngörülerde bulunması bu araçlar sayesindedir. Bilim, tekil elektronların ya da fotonların yahut diğer temel varlıkların kesin davranışını önceden söylemekteki aczini bugün tevazuuyla itiraf etse de, büyük bir güvenle size, bunların büyük sayılara ulaşan miktarlarının nasıl davranması gerektiğini söyleyebilir. Görünüşteki tesadüfilikten bir desen ortaya çıkar. Tüm bilim tarihinin temelini oluşturan şey, böylesi desenlerin, yani temelde yatan yasaların araştırılmasıdır. Şüphesiz, her şeyin yalnızca bir rastlantı olduğunu, nedensellik diye bir şeyin olmadığını kabul edecek olsaydık, o takdirde tüm bu çalışmalar bütünüyle zaman israfından başka bir şey olmazdı. Bereket versin, tüm bilim tarihi, böylesi endişelerin en küçük bir temelinin bile olmadığını göstermektedir. Bilimsel gözlemlerin büyük bir çoğunluğunda, belirsizlik derecesi o kadar küçüktür ki, pratik amaçlar bakımından ihmâl edilebilirler.
Devamını oku

Yorum Durumu: Yorum yok --- Kategori: Bilim, Felsefe --- Etiketler:, , , , , , , ---