Asal Sayılar

Matematik insanoğlunun tüm ilgi alanlarının arasında mekik dokuyan öylesine engin bir konudur ki, bazen içinde kaybolup gidersiniz. Arada bir temel esaslara geri dönmeniz gerekir. Sayıların temelinde sayma sayılar vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, … Peki bunun bile temelinde başka sayılar var mıdır?

Mesela 4 = 2 x 2 ‘dir, dolayısıyla daha temel bileşenlere ayrılabilir. Diğer sayıları da böyle ayırabilir miyiz? Neden olmasın, işte birkaç tane daha: 6 = 2 x 3, 8 = 2 x 2 x2, 9 = 3 x 3 . Daha küçük sayıların çarpımından oluştukları için bunlara “bileşik sayılar” denir. Bazı sayılarıysa ayırmak mümkün değildir: 2, 3, 5, 7, 11, 13, … bunlara asal sayılar veya kısaca asallar denir. Asal sayı yalnızda 1’e ve kendisine tam bölünür. Peki 1 de asal mı diye sorabilirsiniz. Geçmişte birçok matematikçi 1 i asal kabul etmiş olsa da teoremlerin tutarlılığını sağlamak adına 1 asal sayılar arasından çıkarılmıştır. Bu yüzden asal sayıların tanımına “1 den büyük” ifadesi eklenmiştir
Asal sayıları incelemek bizi temelin de temeline götürür. Asal sayılar matematiğin atomlarıdır adeta. Diğer tüm kimyasalları meydana getiren kimyasal atomlar gibi asal sayılar da diğer sayıları meydana getirir. Bu gerçeği matematiksel olarak ifade eden teorem “aritmetiğin temel teoremi” adıyla bilinir.

Asal sayıları belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiçbir kalıba uymazlar.
Bir başka zorlu soru ile asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır. Carl Fredrich Gauss 1792 de henüz 15 yaşındayken belirli bir n sayısından küçük asal sayıların adedini tahmin etmek için bir formül önerdi. Buna günümüzde asal sayı teoremi denir. n = 1000 için formülün verdiği tahmin 172 dir. Gerçek adet olan 168 bundan daha küçüktür. Bunun her n değeri için geçerli olduğu düşünülüyordu, ta ki n = 10371 (1 ve ardından 371 tane 0 içeren devasa bir sayı) sayısında tahminin gerçek sayıdan büyük olduğu gösterilene dek. Asal sayılar her zaman böyle sürprizlerle doludur.

Asal sayılar sonsuzdur. Öklid, Elemanlar adlı kitabında “asal sayılar belirli bir miktar asal sayıdan daha çoktur” diye yazmış ve zarif bir şekilde ispatlamıştır. Asallar sonsuza uzansalar da insanoğlunun en büyük asalı bulma sevdası hiç dinmemiştir. Şu andaki rekor bir Mersenme asalı olan 274207281 – 1 ‘dir ki yaklaşık olarak 1022338618, ya da başka bir deyişle 1 in ardında 22.338.618 tane 0 olan bir sayıya karşılık gelir.
Asal sayılarla ilgili öne çıkan iki cevapsız soru “ikiz asallar problemi” ve “Goldbach sanısı”dır.
İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. İkiz asallar sonsuz mudur? Bunu veya aksini ispat etmeyi başaran olmadı bugüne kadar.

Goldbach sanısı ise “2 den büyük her çift sayı iki asalın toplamı şeklinde yazılabilir” Örneğin 42’yi 5 + 37 veya 11 + 31 veya 13 + 29 şeklinde yazabiliriz. Devasa sayılar da dahil olmak üzere bugüne kadar denenmiş her sayıda bu sanı doğru çıksa da genel ispatı yapılamamıştır.

Asal sayıları “matematiğin atomları” olarak tanımladık. “iyi de,” diyeceksiniz, “atomlardan bile daha temel parçacıklar, sözgelimi kuarklar keşfedildi.” Matematik geri kalır mı hiç? Gauss, örneğin 5 gibi bazı asal sayıları 5 = (1 – 2i) x (1 + 2i) şeklinde yazabileceğimizi gösterdi.

Bir yorum :

  1. Ben bilmem ! dedi ki:

    Asal sayıları belirlemeye yarayan bir formül ne yazık ki yok. Dahası bilebildiğimiz kadarıyla hiçbir kalıba uymazlar.
    Bir başka zorlu soru ile asal sayıların bir örüntüye sahip olup olmadığıdır.

    Bu çok doğru değildir, Açıkçası asal sayıların formülünün bulunamama sebebi, yanlış başlanmış bir yolun doğrudan giderek daha fazla uzaklaşmasının getirdiği sonuçla ilgili olduğu gerçeğidir.

    Sorun tam olarak asal sayı tanımından kaynaklanmaktadır. asal sayı tanımı yeniden yapıdlığında başta girilen yoldan bir mikron kadar farklı bir yola girileceği görülecektir.

    Anlam değişmediği halde yapılan bu yeni tanım şöyle olmalıdır.

    Asal sayılar; 1 den büyük ve 1 den başka KAT’ı olmayan sayılardır.

    Bu durumda asal sayıların bulunmasında etkin olan bölme işlemi yerine çarpma işleminin etkin olmasını sağlarsınız.
    Peki sonuçta ne olur ?
    Basitçe Asal sayılar 2 kümenin farkı şeklinde matematiksel olarak yazılabilirler.
    Örnek aralığı için herhangi bir N sayısını ele alalım. bu aralığa kadar olan tam sayıların bütün katlarını elde etmek için her elemanın birbiri ile olan katlarının kümesini elde ederiz.

    A = { 1,2,3,4,5,…N} B = {A x A}

    Bunun dışında yukarıdaki tanım gereği, 1 den büyük ve 1 den başka katı olmayan sayılar için aynı işlemi tekrar ettiğimizde

    C = { 2,3,4,5,…N} D = {C x C}

    Küme kuralları gereği, küme içerisinde her eleman sadece 1 defa var olması gerektiği için iki kümede fazladan tekrar eden elemenlar tekil hale gelirler.

    İstatistikte bu fazladan tekrar eden elemenaların tekrar sayısına “frekans” adı da verilmektedir. Bunu not olarak alıp unutlmazsa, ileride farklı bir teorinin ispatında kullanılabileceği görülecektir.

    Tanımımıza geri dönersek tanım gereği B ve D kümelerinin farkı tam olarak asal sayılar kümesini kapsamaktadır.

    söz konusu küme fazladan olarak {1} elemanını da içerdiği için son gösterim.

    Prime Number Set = B – D – {1}

    şeklini alır küme ifadeleri sınırlı kümeler için olmasına karşın, N sonsuz olsa bile sonucun değişmediği görülecektir.

    Buraya kadar anlatmış olduğum küme ifadesinin yazıdan alıntıladığım ifadede bahsi geçen formül ve örüntüye sahip olmaması sadece bakış açısının mevcut tanımla yapıldığı sürece yapılamayacağıdır.

    Ancak göstermeye çalıştığım bakış açısı farklılığı hem formül hemde örüntü ile ilgili yeni gelişmelerin önünü açabilecektir.

    Nitekim bu konuda yaptığım çalışmalar sonucunda, sınırlı bir aralıktaki tam sayılar için o aralıktaki asal sayılar toplamını veren bir seri toplam formülüne ulaştım.

    Buna göre asal sayılar için bir formül olmamasına karşın, bir toplam formülü elde edilebilir görünüyor. Bu durum asal sayı formülünün önündeki bir aşama şeklinde görülebilir.
    Yukarıda küme gösteriminden kolaylıkla çıkarılabilecek bir toplam formülü Küme kuralı olan “Küme içerisinde her eleman sadece 1 defa gösterilir.” yasası sebebiyle bir seri toplamı olmak zorunda kalıyor.

    Ancak daha ilginç olan aşağıda anlatılan konu ile olan yakından ilgisidir.
    Seri toplam formülünün yukarıda bahsettiğim frekans değerini kullanan farklı bir versiyonu “Goldbach sanısı” nı ispatlamaya matuf deliller içermektedir.
    Bu konu üzerinde çalışılmaya değer bir konu olmasına karşın güvenlik endişeleri ile çok fazla açıklanmayan bir konu olduğunu düşünmekteyim.

    Malum olduğu üzere asal sayıların Askeri ve mali konular başta olmak üzere pek çok konuda kullanılması böyle bir formülün ortaya çıkarılmasındaki isteksizliğide açıkladığını düşünüyorum.

    sal sayılarla ilgili öne çıkan iki cevapsız soru “ikiz asallar problemi” ve “Goldbach sanısı”dır.
    İkiz asallar, aralarında 2 fark olan asallardır. İkiz asallar sonsuz mudur? Bunu veya aksini ispat etmeyi başaran olmadı bugüne kadar.

    Goldbach sanısı ise “2 den büyük her çift sayı iki asalın toplamı şeklinde yazılabilir” Örneğin 42’yi 5 + 37 veya 11 + 31 veya 13 + 29 şeklinde yazabiliriz. Devasa sayılar da dahil olmak üzere bugüne kadar denenmiş her sayıda bu sanı doğru çıksa da genel ispatı yapılamamıştır.

    Bunların dışında sözknusu tanımın ve küme gösteriminin asallığın sadece klasik versiyonu için değil, aralarında asal sayıların gösteriminde ve araştılımasında da faydası olacağını düşünmekteyim.

    Ayrıca asal sayıların sayıların; sayıların atomları olması konusunda farklı düşüncelere kapı aralaması ve tam sayılar dışında reel ve irrasyonel sayılar arasında da asallıkla ilgili yeni kuralların bulunabileceğini düşünmekteyim.

Bir Cevap Yazın

E-posta hesabınız yayımlanmayacak. Abonelik için e-posta yazmalısınız. Yorumda html etiketleri kullanabilirsiniz.

Gönderen: sonsuz -->

Kategori: Bilim - Etiketler:, , , , , ,